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 Sujet du message : Calcul mécanique BMW par LtDo
Message Publié : 25 Juil 2010, 21:14 
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Mécanos
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Bonjour à tous,

Passionné de mécanique et ingénieur de formation, j’ai voulu faire quelques calculs de mécanique appliqués (pendant mes vacances, faut bien rentabiliser les siestes du petit ;-) , je sais , je suis un peu fou et en plus je ne me soigne pas :D ) à mon moteur, le BMW N47 équipant ma 116d, mais la plupart des calculs sont fort proches ou similaire pour les 118d/120d/123d vu que les valeurs sont les mêmes ou sensiblement les même.

Je doute que ce topic intéresse grand monde, mais si ça intéresse quelqu'un, autant le partager. Je traite essentiellement des forces appliquées aux pistons mais on pourra voir que cela peut déboucher sur les vibrations entre autre. Le premier chapitre est consacré aux forces dues aux mouvements du piston.


Chapitre 1. Forces d’inerties du piston

Pour évaluer les forces d’inerties appliquées au piston, il faut commencer par analyser son mouvement et cela passe par un peu de math (certains détesterons mais peuvent parcourir le raisonnement en diagonale et lire la suite ;-) ).
Nous allons analyser la position du piston en fonction de l’angle du vilebrequin et donc voir où se situe le piston en fonction de cet angle et comme on sait que le vilebrequin tourne (grâce aux volant moteur) de manière assez constante sur un tour, on pourra analyser les vitesses et accélérations qu’il subit.

Petit schéma :

Image


Comme on peut le voir sur ce dessin, on prend comme convention que l’angle A vaut 0 quand le piston est au point mort haut (souvent abrégé en PMH dans la littérature francophone sur le sujet). On voit donc que la distance totale entre le centre du vilebrequin et l’axe piston-bielle peut être découpée en deux valeurs : la projection du maneton de vilebrequin sur l’axe vertical (notée c/2.cos(A) sur le dessin… vu que c’est sa longueur) et la projection sur le même axe de la longueur de bielle (notée X sur le dessin). La valeur de la première vient d’une règle trigonométrique de base que certains auront retenu (l’axe des sinus et l’axe des cosinus sur un cercle qui a un rayon d’une unité…) et si on exploite cela, on peut voir que la hauteur du triangle (en rouge sur le dessin) a une longueur de c/2.sin(A). Le seul intérêt de connaître cette valeur est de pouvoir calculer la valeur de X vu que X fait partie d’un triangle rectangle (la géo vous revient ?) avec Lb (longueur de bielle) pour hypoténuse et c/2.sin(A) comme troisième côté. Et vu que (comme vous vous en souvenez sans doute :-) ), le carré de l’hypoténuse est la somme des carré des deux autres côtés, cela nous lie l’angle de vilebrequin (connu), avec la longueur de bielle et la longueur de maneton de vilebrequin (noté c/2 vu que cela vaut la moitié de la course du piston).

De ceci, on peut en faire un graphique si on se souvient que la course du N47 est de 90mm et la longueur de bielle est de 138mm. Voici un graphique du mouvement en question :

Image


Les observateurs auront remarqués que le piston passe plus de temps en bas (il franchi la moitié avant 90°) qu’en haut (il n’y retourne que passé 270°) et auront remarqué que ce qui paraît être une sinusoïde n’en est pas vu que le graphique est plus pointu en haut qu’en bas. C’est plus évident si on « bascule » la partie basse vers le haut (en prenant la valeur absolue) :

Image


On verra plus loin que cela a une énorme incidence sur la vitesse et encore plus sur les accélérations subies par le piston sur sa course.

Si on veut obtenir l’évolution de la vitesse, on peut se souvenir que la vitesse est la dérivée par rapport au temps de la position et que A varie par exemple de 2000tr/min (comme ça on connaît la vitesse du piston à 2000tr/min). Si je démontre la formule ici, je suis sûr à 95% que je largue tous le monde et que de toute façon, personne ne verra les implications de cette méga-formule de vitesse du piston… je vais donc faire une simulation numérique qui parlera beaucoup plus à tous le monde et qui montrera que tous le monde peut le faire.

J’ai donc rempli un tableau où j’ai calculé pour chaque degré d’angle de vilebrequin pour faire le graphique ci-dessus. Ceci n’est bien sûr valable que pour la longueur de bielle et la course choisie (même si l’allure est applicable à beaucoup de moteurs). On reprend donc les valeurs calculée à chaque degré de vilebrequin et on calcule la (très faible) variation de position divisée par le (très court) temps qu’il a fallu. Donc si on calcule la position à 0° puis à 1° et qu’on divise par le temps qu’il a fallu (2000tr/min donc… 83 millionième de seconde par degré), on en déduit la vitesse entre les deux positions. Là, on voit déjà que c’est un approximation car, comme tous le monde le sait (et peut le voir sur le graphique de position), à 0° d’angle de vilebrequin, la vitesse est nulle et vu que la position à 1° est différente de la position à 0°, la simulation numérique donnera une valeur non nulle… ce qui montre la limite d’une simulation numérique ! On peut avoir plus précis en calculant tous les dixième de degré ou tous les centième de degré mais rapidement on va constater qu’affiner le calcul l’alourdit sans le rendre beaucoup plus précis.

Donc si dans notre tableur, on calcule la vitesse, voilà ce qu’on obtient à 2000tr/min dans le cas de notre N47 :

Image


Comme on pouvait s’y attendre, visuellement la vitesse semble s’annuler tous les multiple de 180° (correspondant aux PMH et PMB-point morts bas). Par contre, ici on voit clairement que le piston ne fait pas un mouvement sinusoïdal et on voit que la vitesse maximum (qui n’est que de 9,2m/s à 2000tr/min) est atteinte avant les 90 de vilebrequin ° (vers 73,4°) et n’est à nouveau atteinte que passé 270° de vilebrequin (vers 286,6°). Donc de la vitesse max positive à la vitesse max négative, il y a 146,8° alors que de la vitesse max négative à la vitesse max positive, il y a 213,2°. Ceci explique les montées sur le graphique soit beaucoup moins pentues que les descentes et on va voir que sur les accélérations (et forces d’inerties en découlant), cela a une influence énorme !
Petite parenthèse géométrique : cette différence vient en fait de la longueur de bielle. Si celle-ci était infinie, le piston décrirait une sinusoïde (mais aucun capot de One ne pourrait loger ce moteur ;-) ). En fait, la vitesse max du piston est atteinte quand la bielle fait un angle de 90° avec le maneton de vilebrequin, angle que forme la bielle sur le premier dessin vu qu’à ce moment, le bout du maneton de vilebrequin va précisément dans l’axe de la bielle. Le reste du temps, ce point va à la même vitesse mais une partie de cette vitesse est dans l’axe de la bielle, le reste fait pivoter la bielle. Plus la bielle est courte, plus cette différence de vitesse est importante.

Passons au graphique des accélérations à présent. On obtient ce graphique en se rappelant qu’une accélération est une différence de vitesse divisée par le temps entre ces deux vitesses. Donc à partir des positions, on en a déduit les vitesses et à partir des vitesses, on en déduit les accélérations. Graphiquement, pour le N47 à 2000tr/min, cela donne ça :

Image


Ce graphique donne les accélération en G donc l’accélération (en m/s²) a été divisée par 9,81m/s² ( la gravitation de la terre pour rappel). On voit donc que l’accélération augmente brutalement (en valeur absolue, elle est négative car elle fait repartir le piston vers le bas) en arrivant au PMH où elle y culmine à plus de 250G (donc un petit piston de 500g demande un force de traction de plus de 125kg à ce moment là). Cette accélération chute tout aussi brutalement (en valeur absolue encore une fois) pour subir une phase d’accélération presque constante autour du PMB qui est au maximum 2 fois plus petite qu’au PMH. A noter : si on fait tourner le moteur 2 fois plus vite (4000tr/min donc), la vitesse du piston est bien sûr multipliée par 2 et le temps pour passer de la vitesse max vers le bas à la vitesse max vers le haut est lui aussi divisé par 2. Les accélérations subies pas le piston sont donc non pas doublées mais quadruplées et notre gentil piston subit donc plus de 1000G (!) à cette vitesse de rotation. Il fait donc subir à la bielle une traction de 500kg à ce régime (pas gentil pour la bielle ça)

A noter que ceci est d’application que l’on sollicite le moteur au maximum ou pas. S’il tourne à 2000tr/min, qu’on soit pied au plancher ou pas, le piston doit faire le même trajet et à la même vitesse.

Bref, il est à noter que les contraintes subies par le piston sont loin de se résumer à encaisser les explosions, son propre mouvement le met déjà à rude épreuve quelle que soit la charge.

A noter – vibrations moteurs : quand on se souvient que F = m.a (force égale masse fois accélération), cette accélération du piston résulte d’une force appliquée par d’autres pièces du moteur qui prennent appui sur la voiture, il en résulte donc des vibrations. La meilleure façon d’aborder ce problème consiste à analyser le mouvement en série de Fourrier, nom un peu étrange pour simplement dire qu’il faut analyser e mouvement en une sinusoïde fondamentale (dont la fréquence n’est autre que la vitesse de rotation) et ses harmoniques (des multiples de cette fréquence).
En clair, si vous analyser le mouvement du piston et les vibrations qu’il induit au moteur, s’il tourne à 3000tr/min soit 50 tours par seconde (50Hz), vous trouverez des vibrations à 50Hz mais aussi à 100Hz (vibrations du second ordre), 150Hz (3ième ordre), 200Hz,…
En prenant comme angle initial 0° à t=0 et ω comme vitesse de rotation, on obtient une formule du type :

A1.cos (ωt) + A2.cos (2ωt) + A3.cos (3ωt) + …

Si on se souvient que cos (ωt+180°) = -cos (ωt), on voit qu’en prenant 4 cylindre opposés deux à deux (le cas de notre N47), on annule le premier terme. Sur un graphique, cela donne ceci :

Image


On voit donc que les vibration ont diminué fortement en amplitude et se résume en apparence à une fréquence deux fois plus élevée. Effectivement les harmoniques diminuent rapidement en amplitude, les accélérations et vibrations du second ordre sont bien plus petits que le troisième ordre et que les suivants. En choisissant bien les amplitudes A1 et A2 (A1 = 76,66% et A2 = 23,34%), voilà le graphique qu’on obtient :

Image


On voit donc que les vibrations sont principalement du premier et second ordre. On a annuler les premier en prenant 4 cylindres opposés 2 à 2, on annule les second en y ajoutant une paire d’arbre d’équilibrage qui tournent en sens inverse l’un de l’autre, deux fois plus vite que le moteur et on obtient les vibrations du graphique précédent sous le nom « 4 cylindres + arbre d’équilibrage ». On pourrait diminuer encore les vibrations avec d’autres arbres d’équilibrage mais cela diminuerait très peu les vibrations, coûterait cher, ferait consommer plus sans grand gain donc…
Par contre, un truc pour avoir encore moins de vibrations est de prendre un 6 cylindres plutôt qu’un 4 avec arbres d’équilibrage car naturellement, un 6 en ligne est très équilibré. Si on fait un N47 6 cylindres, voilà les vibrations qu’on aurait sans arbre d’équilibrage par rapport à un 4 avec arbre d’équilibrage :


Image


A bientôt pour ceux que ça intéresse pour le prochain épisode: le cycle diesel.

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Message Publié : 25 Juil 2010, 21:44 
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Très technique, mais très interressant!

J'attend le suite avec impatience.

Vraiment Merci à toi LtDo !! :-) :-)

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Message Publié : 25 Juil 2010, 22:11 
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Et bien, je comprends pourquoi le petit fait de grandes siestes moi. :hihi:

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Message Publié : 26 Juil 2010, 11:30 
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Lor@n a écrit :
Très technique, mais très interressant!

J'attend le suite avec impatience.

Vraiment Merci à toi LtDo !! :-) :-)


Merci beaucoup pour tes compliments Lor@n ils me vont droit au coeur :oups:. Je vais tenter de mettre la suite au plus tôt, ça dépendra du temps que je trouve...

L@urent a écrit :
Et bien, je comprends pourquoi le petit fait de grandes siestes moi. :hihi:


Bah il a deux ans à peine et faisait encore facilement des siestes de 2 heures donc..., mais c'est clair que le jour où il ne dort plus, je lui lis un précis de mécanique avant dodo et ça prendra pas cind minutes :D

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Message Publié : 27 Juil 2010, 12:35 
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Chapitre 2. Le cycle Diesel

Petit rappel sur le cycle diesel. On va le revoir dans ce tableau reprenant l'évolution de la pression en fonction du volume.

Image


Comme on peut le voir, le moteur sur le schéma, dans un premier temps (1), le moteur aspire de l'air à une pression p1 (1 bar si c'est un atmosphérique, entre 1 bar et la pression du turbo suivant le régime en cas de présence d'un turbo). Quand le piston a atteint le point mort bas (PMB pour rappel), la (les) soupape(s) d'admission(s) se referme(nt) et commence la phase de compression (2). Celle-ci est très importante dans un diesel (rapport de compression entre 15 et 25 contre autour des 10 pour un moteur essence atmosphérique souvent) et le N47 n'y fait pas exception comme on va le voir plus loin... Une fois cette pression maximale atteinte, commence le troisième temps avec la phase de combustion (3) qui ici maintient la pression maximale un certain temps et puis se déroule la phase de détente (4) à une pression plus élevée que la compression, ce qui fournit la véritable force motrice du système. On termine avec la phase d'échappement (5) ou les gaz sont refoulés et sont remplacés par des frais au cycle suivant.

Première remarque importante pour bien comprendre ce cycle: l'énergie récupérée lors d'un cycle est égale à la surface comprise dans la boucle. Lorsqu'on veut optimiser un moteur diesel, il faut donc augmenter cette surface pour amener plus d'énergie à chaque cycle.

Seconde remarque importante (surtout en vue d'analyser les efforts sur notre piston): Si le turbo est dans la bonne plage, c'est-à-dire pas à bas régime où il est trop peu entraîné et pas à très haut régime où il n'arrive plus à assurer le débit à cette pression, la pression maximale est permanente! En effet, dans ce cycle, point de papillon des gaz mais une modulation de la puissance en fonction de la quantité de carburant injectée et donc du temps pendant lequel cette pression maximum subie par le piston est systématique et donc d'application à chaque cycle quelle que soit la charge :bam: . Voici un cycle avec puissance réduite:

Image


C'est donc en arrêtant l'injection plus tôt qu'on diminue la puissance et ceci en diminuant la pression de détente et, sur le schéma, on diminue la surface du cycle. Dans un moteur essence, on ferme le papillon des gaz, ce qui a pour effet de créer des pertes par pompage (le moteur doit créer une forte dépression au-dessus du cylindre pour faire rentrer un peu d'air, ce qui crée sur le schéma ci-dessous une surface négative (en rouge sur le schéma ci-dessous) car c'est une énergie perdue. Vu que moins d'air est rentré, la pression finale est moindre et la montée de pression due à l'explosion est aussi moindre (moins d'oxygène). On constate que la pression maximale est fortement diminuée alors que la différence de surface entre le maximum et la réduite n'est pas tellement importante. On comprends qu'un moteur essence souffre beaucoup plus d'une utilisation intensive (qui change fort les contraintes subies par le moteur) qu'un diesel qui, quoi qu'il arrive subit les mêmes charges, plus ou moins prolongées.

Image


Anecdote: pour ceux qui s'intéressent aux optimisations, on peut, en analysant le schéma voir deux-trois améliorations possibles pour augmenter la surface du cycle.

a. Avance à l'injection

Si on ne se contente pas de maintenir la pression maximale une fois celle-ci atteinte, mais, avant le point mort haut (PMH), on commence déjà à injecter, on augmente la pression en fin de compression. Cela rend plus dur la montée du piston et cela contribue donc négativement à la courbe (partie en rouge sur le schéma ci-dessous)... du moins au début car, une fois cette pression maximale (plus haute) obtenue, l'injection se continuant, on maintient cette même plus haute pression dans la chambre et on gagne la surface en bleu clair. Plus l'injection est importante, plus cette petite perte est faible comparé au gain. Pour ceux qui connaissent, c'est la même chose que l'avance à l'allumage sur les moteurs essence. A noter: ceci se fait uniquement en optimisant le cycle et en injectant la même quantité de carburant donc en augmentant pas la consommation! La contrainte augmente quelque peu mais ça reste faible et les diesel sont prévus pour. A noter aussi que plus la charge est importante, plus la petite surface en rouge (contribution négative) est faible comparée à la surface gagnée. Il est donc intéressant de trouver la bonne avance en fonction de la charge et plus celle-ci est élevée, plus l'avance pourra être grande... mais plus la contrainte est élevée même si en valeur absolue, cela reste faible comparée à la pression de compression :-)

Image


b. Augmentation de la pression d'injection

Si on augmente la pression d'injection et donc le débit des injecteurs (constructeur ou préparateur), au lieu de maintenir la pression, on peut légèrement augmenter celle-ci. Cela augmente la surface du cycle (en bleu clair ci-dessous) mais encore une fois, la quantité de carburant injecté est identique et la contrainte est, ici aussi, très légèrement supérieure. A noter ici aussi que la surface gagnée est d'autant plus importante que la charge est importante, donc amélioration du rendement particulièrement importante à forte puissance :-)

Image


c. Augmentation de la pression de turbo

Bien sûr, en optimisant l'utilisation du turbo, on peut augmenter la pression, ce qui va augmenter l'apport en air frais et donc la quantité maximale de carburant injectable. Ceci est aussi valable (sans aucun risque pour la mécanique) en dehors de la plage de prédilection du turbo. En clair, au régime proche du ralentit, un turbo mal utilisé ne donnera que peu de pression et le couple à ce régime sera très faible. De même à haut régime, la pression et le débit accompagnant pourrait diminuer fortement et compromettre la puissance disponible.



Concrètement, pour notre N47, que donnent ces courbes?

Tout d'abord, la pression d'aspiration est de 2.5 bars (en valeur absolue) pour les 116d & 118d (2.55 bars pour les 120d et... 3 bars pour les 123d !). Pour calculer la pression maximale, il faut se souvenir que la courbe se rapproche fort d'une compression adiabatique (sans échange de chaleur) et que la pression multipliée par le volume exposant gamma est une constante (gamma vaut 1.40 pour l'air).
Autrement dit : p.V expγ = cst
=> Pmax.Vmin expγ = Pturbo.Vmax expγ
=> Pmax = 2,5 bars.(Vmax/Vmin)expγ.

On se rappelle que Vmax/Vmin, c’est en fait le rapport de compression et qu’il vaut 16 dans le cas du N47. La pression maximale est donc de 2,5bars.(16)exp1,4 = 121bars ! Soit un peu plus de 123kg/cm². Si on se souvient que nos pistons fonts 8,4cm de diamètre (soit une surface de 55,41cm²), ils subissent donc un force totale équivalente à 123kg/cm²*55,41cm²=… 6793kg ! Costauds les pistons :bam: . Voici un schéma chiffré du cycle en question :

Image


Pour ceux qui se disent que pousser encore un peu plus le moteur est de la pure folie, voici un schéma reprenant les pressions des 116d/118d vs 123d… je suppose que je ne dois pas préciser lequel est lequel ;-)

Image


Donc pour ceux qui ont fait préparer leur 116d/118d/120d, compte tenu de ce que les bielles/pistons/vilebrequins subissent dans une 123d, je ne me ferais pas trop de souci pour eux dans vos moteurs :-)

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Message Publié : 27 Juil 2010, 17:42 
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PASSIONNANT tout cela...
Vivement dimanche pour un cours collectif chez Shiftech.

Ah oui, Ltdo, tu pourras chipoter à nos moteur pour les rendre plus puissant ;-)

:yahou:

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Message Publié : 07 Août 2010, 08:21 
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Comme nous l’avons vu dans le chapitre I, on peut assez aisément calculer les forces d’inerties que subit le piston dans sa course. Au chapitre II, on a vu le calcul du cycle diesel théorique appliqué à notre cher N47. Le problème, c’est que dans le premier chapitre, on a calculé les forces en fonction de l’angle de vilebrequin et que dans le chapitre deux, c’était en fonction du volume, il est donc difficile d’imaginer une comparaison des deux forces ou de voir la globalité comme ça.


Chapitre 3. Forces d'inerties & de pression

Nous allons donc dans ce chapitre transformer nos données de forces de pression pour pouvoir les additionner aux forces d’inerties pour pouvoir continuer notre étude.

Dans notre second chapitre, on avait calculé la pression en fonction du volume de la chambre. Cela donnait un cycle fermé mais il nous faut maintenant un « historique », nous allons donc « déplier » ce cycle en attachant un compteur kilométrique à notre piston. On va donc constater que l’admission a lieu de 0mm à 90mm suivi de la compression de 90mm à 180mm, de la combustion-détente de 180mm à 270mm et de l’échappement de 270mm à 360mm et ainsi de suite. Voilà ce que ça donne en clair :

Image


Une seconde étape de transformation consiste à convertir la pression en force pour le piston. On se souviendra donc qu’une pression d’1 bar est une pression de 1,02kg/cm² et que nos pistons font 84mm de diamètre. On peut donc convertir le diagramme pression-trajet de piston en force-trajet de piston :

Image


C’est déjà bien mieux comme ça, mais il reste que l’angle de vilebrequin et le trajet du piston sont deux choses différentes. Il reste donc à lier le trajet du piston à l’angle de vilebrequin pour que les deux forces puissent se retrouver sur le même graphique. Pour ça, on reprend le premier graphique qui lie justement la position du piston à l’angle de vilebrequin. On se souviendra (ou on remonte le topic pour s’en souvenir) que le lien angle de vilebrequin-position du piston est loin d’être linéaire, ce qui va avoir pour effet de changer un peu la forme de la courbe. Graphiquement, cela donne ça :

Image


On peut donc enfin réunir ces deux forces sur un graphique, les comparer et, surtout, les additionner pour voir cet effet global. Voilà ce que ça donne à 2000tr/min/2.5bars :

Image


Quand on analyse la courbe qui réunit les deux, on voit qu’aux alentours du PMH en début d’aspiration, malgré la pression du turbo qui aide à l’admission et qui pousse sur le piston, la forte décélération qu’il subit à cet endroit fait que globalement, il subit une accélération vers le bas (ce qui engendrera une forte traction sur la bielle, mais on verra ça plus tard). Par après, on voit clairement que les forces de pression de compression et de combustion prennent (à ce régime) clairement le dessus. On peut voir aussi une bizarrerie juste après le PMH de compression. En effet à cet endroit là, la force sur le piston continue d’augmenter et est donc maximale APRES le PMH et non à ce moment là. Tout simplement parce que la forte accélération vers le bas due au mouvement est très élevée au PMH mais chute rapidement alors que la combustion maintient, elle, la pression sur le piston. On verra que cet effet est encore plus grand à haut régime bien entendu.


Vu qu’on a tout mis dans un tableur (et qu’on a bien fait ça ;-) ), on peut adapter les paramètres et voir ce que ça donne en changeant la vitesse de rotation par exemple ou la pression du turbo. Voici le graphique correspondant à 5000tr/min et considérant que le turbo maintient une pression à ce régime de 1,5bars (difficulté à assurer le débit ; la valeur est arbitraire, je ne connais pas les données réelles et je n’ai rien pour les connaître) :

Image


J’ai volontairement choisi de garder la même échelle pour mieux montrer le résultat d’une chute de pression due au turbo qui sature comparée aux forces d’inerties qui, à ce régime, explosent littéralement. A ce régime, on peut clairement voir l’effet de l’accélération au PMH qui a pour effet de soulager le piston en fin de compression-début de combustion mais qui met à mal le piston (et surtout la bielle mais on y reviendra) en fin d’échappement-début d’admission.

A noter : Il est important de savoir que cette contrainte de traction est extrêmement néfaste pour la durée de vie d’une pièce. En effet, les contraintes de compression sont très bien supportées à long terme alors que les contraintes en traction ne le sont souvent pas (dépend du matériau). Pourquoi ? Parce que sur la durée, c’est la fatigue du matériau qui entre en jeu et la fatigue consiste à avoir un problème (défaut, faiblesse, fissure,…) qui, au fur et à mesure des contraintes répétées, s’agrandit avant d’avoir une taille telle qu’il y a rupture.

On peut sentir ce phénomène notamment en pensant à l’élastique en caoutchouc. On a tous déjà tiré sur ces élastiques et constaté qu’un jour, on voit une petite coupure sur l’élastique. Si on tire dessus très fort, il casse. Mais si on se contente de tirer moins fort mais de façon répétée, la coupure grandit et puis tôt ou tard, l’élastique nous claque dans les doigts. Il en va de même pour beaucoup de matériau mais c’est souvent beaucoup moins visuel et évident à comprendre.


Notez qu’au ralenti (pression du turbo quasi inexistante et régime de 900tr/min environ), le moteur subit des contraintes assez négligeables :

Image


Parenthèse sur les calculs de contraintes : Les calculs qui ont été faits ci-dessus sont en comptant sur certaines valeurs sans tenir compte des tolérances. Hors un ingénieur calcule toujours en tenant compte des tolérances :-) . Soit en connaissant ces tolérances et en regardant ce que donnerait le pire scénario… et en prenant de la marge quand même, soit en prenant une bonne marge dictée par l’expérience mais, n’ayant pas calculé, il devra aller assez large que pour être sûr que le moteur soit fiable… sinon la marque va droit à la catastrophe (imaginez un marque ayant une hécatombe au niveau des casses moteur… et les effets sur ses ventes dans la foulée :D ). On va faire ici un petit calcul rapide en tenant compte de quelques facteurs qui changeraient la donne et particulièrement la pression maximale en fin de compression.
a. Tout d’abord, on imagine un piston dont l’axe est un petit dixième de millimètre plus bas par rapport au piston, ce qui rabotera la chambre de combustion du même dixième de millimètre.
b. Ensuite on imagine une bielle, elle aussi, plus longue d’un petit dixième de millimètre qui aura le même effet sur la chambre de combustion.
c. On continue sur cette lancée en imaginant un vilebrequin dont les manetons (qui font la moitié de la course pour rappel) sont, là aussi, un dixième de millimètre plus long. Ceci rabote encore une fois le volume de la chambre de combustion et augmente aussi très légèrement la cylindrée.
d. On imagine enfin un palier d’axe de vilebrequin dans le bloc moteur qui serait trop haut d’un petit dixième là aussi. Ceci a encore pour effet de raboter le volume de combustion.
e. Pour terminer, on imagine une régulation qui dispose d’un capteur de pression de turbo qui est légèrement pessimiste et qui du coup pense avoir 2,5 bars alors qu’il est à 2,55 bars.
f. On pourrait encore en rajouter en imaginant un carburant de moins bonne qualité, un capteur de PMH pas parfaitement exact (sur base duquel on détermine le moment d’injection et on a vu plus haut quel effet cela avait d’injecter « un peu plus tôt »), une injection à une pression un peu plus élevée,… le tout est à calculer sur les pistons/bielles/culasses/… les plus fragiles possible :D (encore de la marge donc :-) ).

Comme on l’a vu, les quatre premières imperfections auront pour effet de raboter la chambre de combustion de 0,1mm chacune, soit 0,4mm en tout. Le volume raboté vaut donc la surface de piston (4,2cm*4,2cm*pi) multipliée par cette distance soit approximativement 2,22cm³. Ceci est à déduire du volume de combustion théorique. Si on se rappelle que le rapport de combustion vaut 16 et est le rapport entre le volume maximal (cylindrée + volume de combustion) et le volume minimal (volume de combustion), connaissant la cylindrée unitaire, on en déduit que le volume vaut 33,25cm³. Ce volume se réduit donc dans notre cas à 31,03 cm³.

Dans le cas d’un vilebrequin 0,1mm plus grand, cela augmente la course de 0,2mm et donc la cylindrée unitaire qui, dans notre cas passe de 498,76cm³ à 499,87cm³. Concrètement, ce changement de cylindrée et de volume de combustion change le rapport de compression et vaut : (499,87+31,03)/31,03 = 17,07 (au lieu de 16!).

On constate dans notre tableur (à 2000tr/min) une force maximale de 6,717 tonnes sur le piston si on respecte parfaitement des dimensions visées. Si on rapporte les modifications, dues aux imprécisions de production, dans notre tableur et qu’on regarde ce que cela donne, on constate que la force est passée à…7,517 tonnes (!) soit une augmentation de près de 12% alors qu’on n'a abordé qu’une (toute petite) partie des sources d’augmentation des contraintes et qu’il faut se dire que sur toutes les bielles/pistons/vilebrequins, certains seront plus résistant que d’autres et qu’il faudra aussi en tenir compte.

Ceci vous illustre la difficulté des motoristes qui doivent composer avec les tolérances de fabrications et que cela rend les moteurs bien plus costauds que ce que le calcul théorique semble permettre. Certains se diront qu’il suffit d’exiger un meilleur respect des cotes théoriques et ils on raison… mais exiger des tolérances plus serrées aura un coût très élevé et coûte vite plus cher que de fabriquer un moteur plus robuste qui, dans le cas le plus défavorable (contraintes plus élevées que la moyenne, organes plus fragiles, conditions d’utilisations difficiles,…) tiendra quand même le coup car un moteur cassé prématurément sans raison apparente, ça fait très mauvais genre :fache: et ça coûte vite très cher au constructeur (appel en garantie, baisse des ventes,…)


@+ pour le prochain chapitre parlant des efforts résultants sur la bielle et les frottements (tu vois Fred-Shiftech, comme tu m'en parlais dimanche passé, on y arrive... :wink: )

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Message Publié : 07 Août 2010, 08:43 
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Lorsque tu parles de moteur plus robuste, comment cela est il devellopé? matériaux differant? enfn j'ai du mal à imaginer ce qui rend un moteur plus 'robuste'

Ce qu' on peut retenir c'est que d'etre tout le temps dans les tour reduit finalement la durée de vie du moteur vue qu'on a plus de contrainte sur les pièces.

Par contre tu parles dans ta théorie de calcul sur les défauts, de carburant de mauvaise qualitée.
Comment un carburant de mauvaise qualité peut jouer sur l'inertie et les contraintes mécaniques?

Ton étude est vraiment très interressante!

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Message Publié : 07 Août 2010, 09:04 
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Vraiment bien réalisé! Par contre, les frottements seront très durs à calculer! Température du bloc, tolérances des pièces,qualité de l'huile etc etc. Enfin je ne t'apprends rien!

Bon boulot :wavetowe:

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Message Publié : 07 Août 2010, 10:34 
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Lor@n a écrit :
Lorsque tu parles de moteur plus robuste, comment cela est il devellopé? matériaux differant? enfn j'ai du mal à imaginer ce qui rend un moteur plus 'robuste'

Ce qu' on peut retenir c'est que d'etre tout le temps dans les tour reduit finalement la durée de vie du moteur vue qu'on a plus de contrainte sur les pièces.

Par contre tu parles dans ta théorie de calcul sur les défauts, de carburant de mauvaise qualitée.
Comment un carburant de mauvaise qualité peut jouer sur l'inertie et les contraintes mécaniques?

Ton étude est vraiment très interressante!


Merci pour les compliments. Pour rendre un moteur plus robuste, on commence par calculer les contraintes localement. Pour cela, on utilise la méthode des éléments finis, c'est à dire qu'on subdivise la pièce en des miliers de petits volumes de forme plus simple et qui sont liés les uns aux autres. Exemple de subdivision sur une bielle (trouvé sur le net):

Image


Sur des engrenages (en 2D):

Image


On calcule ainsi sur chaque volume élémentaire quelle est la contrainte qu'il subit et on rend souvent le résultat visible en faisant colorer les volumes en fonction de la contrainte (rouge = très importante, bleu très faible). Exemple d'un calcul de contrainte (trouvé sur le net):

Image


Ensuite, en connaissant la contrainte maximum admissible (et en n'oubliant pas qu'en fatigue il faut encore réduire cette valeur), on regarde où cette valeur est la plus élevée et on "renforce" ces endroits. Par exemple su la pièce ci-dessus, il faudra faire un arrondi plus grand et augmenter la largeur à la base car c'est l'endroit le plus faible.

A noter qu'un angle droit concentre fort les contraintes et que c'est une situation à éviter donc on arrondi à cet endroit et on épaissit (voire on change de matériau pour un patériau plus robuste) pour pouvoir subir la contrainte sans problème pendant des années dans les pires conditions (pour nos BMW: quelques années à rouler à fonds sur les autobahn allemandes par exemple :D ).

Fred-Shiftech a écrit :
Vraiment bien réalisé! Par contre, les frottements seront très durs à calculer! Température du bloc, tolérances des pièces,qualité de l'huile etc etc. Enfin je ne t'apprends rien!

Bon boulot :wavetowe:


Merci Fred :D . Tu as tout-à-fait raison, le calcul est très complexe et j'aborderai plus le problème que je ne la calculerai vu qu'effectivement il est très variable (comme tu le dis si bien: Température du bloc, des pistons, de l'huile, tolérances des pièces, qualité de l'huile, fini de surface,...) mais on peut en dire quelques petites choses :wink:

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Message Publié : 08 Août 2010, 16:33 
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chapeau et ltDo
superbe travail :prie:


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Message Publié : 08 Août 2010, 19:43 
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Y a pas à dire, toi tu gères :twisted:
ça permet de mieux comprendre certaines choses
Bien joué


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Message Publié : 11 Août 2010, 14:36 
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Chapitre 4. Répercutions sur la bielle et forces de frottement.

Nous avons vu dans les chapitres précédents les forces de pression et d’inertie que subissent nos pistons. On serait tenté d’en conclure que la bielle, qui reprend cet effort, subit les mêmes forces… mais ce n’est pas tout-à-fait exact.
En effet, quand la bielle est alignée avec le piston, la force que subit le piston est transmise à la bielle mais une fois qu’elle tourne, l’effort fournit par la bielle n’est plus aligné et la grandeur de cette force change. Par analogie avec le premier schéma, voilà un schéma reprenant les forces des pistons versus forces des bielles :

Image


La force appliquée sur le piston (Fp) et répercutée sur l’axe qui lie le piston à la bielle et dans l’axe du piston alors que la bielle exerce une force (Fb) dans son propre axe (axe maneton de vilebrequin-piston). Ces deux forces ne sont alignées qu’au PMH et au PMB. Le reste du temps, la force appliquée par la bielle est oblique. La Force inconnue (Fx) qui est le complément pour l’équilibre est en fait fournie par la paroi du cylindre qui appuie sur la jupe du piston.

La jupe du piston doit donc avoir une surface suffisante que pour encaisser cet effort induit par la bielle. Si on se souvient que la force exercée sur le piston est souvent de l’ordre de quelques tonnes et considérant que le dessin est proportionné, on se rend compte que la force exercée sur le cylindre est plus petite mais du même ordre de grandeur et se compte en tonnes (!). C’est pour cette raison que la jupe doit avoir une certaine surface afin de répartir cette force et permettre à de l’huile de lubrifier cette partie. Si la jupe avait une surface insuffisante, la pression serait trop élevée et le film d’huile serait chassé sous la pression… contraignant le piston à frotter sur le métal du cylindre :| . Ceci augmenterait fortement le frottement et l’échauffement des surfaces… rendant encore moins possible la présence d’un film d’huile…et conduirait rapidement à un échauffement tel que le piston se dilaterait et se ramollirait pour finir par se souder au cylindre tout en se faisant perforer par la bielle :'(

Vous comprenez mieux pourquoi un piston a une jupe bien longue avec parfois un traitement de surface :D .


Ceci nous amène à ce fameux (oui Fred, j’y viens enfin :wink: ) frottement piston-cylindre qui est très complexe et qui dépend de pas mal de paramètres qu’on a déjà cité ci-dessus mais on va un peu expliquer ici pourquoi car ce frottement applique une force sur le piston qu’il est bon de calculer avant de voir quelle est la force qui est transmise à la bielle.

Si on synthétise la force visqueuse, on peut l’apparenter à la force visqueuse qui existe entre deux surfaces proches qui glissent l’une sur l’autre avec une faible épaisseur de liquide visqueux. Schématiquement, voilà à quoi cela ressemble :

Image


Les flèches indiquent la vitesse du fluide à cette hauteur. Comme on peut le voir, le fluide qui est le plus proche du piston va à la même vitesse que lui et celui qui est proche du cylindre est presque à l’arrêt et chaque couche de fluide a la même différence de vitesse avec les autres ce qui, à cause de la viscosité, engendre une force de frottement :
- Proportionnelle aux surfaces en contact
- Proportionnelle à la viscosité
- Inversement proportionnelle à l’épaisseur de fluide

Dans le cas de notre frottement piston-cylindre, le cas est plus complexe à cause des débits d’huile, segments racleurs,… mais cela reste une assez bonne approximation. On comprend ici l’influence des paramètres cités dans l’échange entre Fred-Shiftech et moi. Les surfaces en contact varient peu mais les deux autres paramètres sont très variables.

La viscosité variera en fonction de la température qui, elle, est très variable et dépend de sa température dans le passé, de la température du piston (et la répartition de cette température), de la température du cylindre, et de la température de tout le reste qui est en contact avec l’huile car l’huile circule et échange sa chaleur avec tous les autres organes.

L’épaisseur de fluide variera elle aussi en fonction de la température des pistons et cylindre car la dilatation rapprochera ou éloignera ces pièces. La force latérale évoquée ci-dessus engendrera elle aussi une possible variation (dans le temps) de l’écart piston-cylindre.

Nous pouvons constater que le calcul de cette force est extrêmement complexe et que les outils nécessaires sont très lourds et coûteux… c’est pourquoi comme tout bon ingénieur, je tricherai en ne calculant pas de manière directe mais de manière indirecte cette force :D


Pour calculer cette force de manière indirecte, j’utiliserai l’expérience qui permet de faire une bonne évaluation de l’intensité de cette force de frottement et de voir son influence sur le dimensionnement des pièces.

L’expérience des moteurs nous apprend que sur les 100% d’énergie injectées, une immense partie part en chaleur et seul quelques pourcents sont convertis en énergie mécanique et qu’au mieux, 25% sont convertis en énergie mécanique dans le cas d’un moteur essence et 30% dans le cas d’un moteur diesel. Le reste part par les gaz d’échappement et par les radiateurs. Cette expérience nous apprend que les pertes par frottement s’élèvent à +/-3% de l’énergie injectée. Comparée aux 30% sortis par notre moteur, cela représente une puissance équivalente à 10% de la puissance sortie par notre moteur.

Si on reprend notre cher N47 en version 118d qui, à 2000tr/min (209,4rad/s), délivre 300Nm, cela donne une puissance de 300Nm*209,4rad/s = 62,8kW. Une puissance équivalente approximative de 6,3kW se perd donc en frottement à ce régime. Si on considère qu’une moitié (c’est énorme) se perdrait dans le frottement piston-cylindre, cela voudrait dire que 3,15kW se perdent à ce niveau. Le reste serait perdu par les frottements suivants :
- bielle-vilebrequin
- vilebrequin-bloc moteur
- arbre à came-culasse
- arbre à came-soupape
- soupape-culasse
- …
Ces 3,15kW sont à répartir sur 4 cylindres, soit 790W par cylindre. On peut déjà avoir une idée de l’intensité de cette force par un simple calcul. On sait en effet qu’une puissance de perte par fortement vaut :

Force de frottement x Vitesse de frottement


On sait (via notre tableau de mouvement de piston) que le piston de nos N47 va à une vitesse moyenne de 6m/s lorsque le moteur tourne à 2000tr/min. Si la force était constante, elle serait de 790W/6m/s = 131N, soit un peu plus de 13kg !

En calculant via le tableau utilisé jusqu’ici une force proportionnelle à la vitesse de piston et la puissance de perte que cela représente, on obtient une force de frottement qui a bien sûr la même allure que la vitesse du piston vu qu’elle est proportionnelle :

Image


On constate donc que cette force de frottement connaît des pics jusqu’à une force équivalente à 17kg. Si on calcule la puissance perdue (instantanée), voici le graphique que l’on obtient (valeur négative car puissance perdue):

Image


On voit ici des pics de perte atteignant 1,7kW.


Pour la force totale appliquée sur le piston, il y a donc lieu de tenir compte de cette force de frottement, même si, compte tenu du fait qu’elle ne culmine « qu’à » 17kg, comparé au reste, cela reste très faible et aura surtout un impact indirect. En effet, cette force produit un échauffement qui fragilise le métal et le dilate ce qui fait que la dimension du piston doit être calculée « à chaud » pour ensuite avoir un piston qui, à froid, sera plus petit mais c’est nécessaire si on ne veut pas que le piston « serre » une fois chaud. Il faudra également prévoir un refroidissement du piston afin de limiter sa température.

Concrètement, la force résultante des frottements comparée (et puis additionnée) aux deux autres donnent ceci :

Image


On voit que la force totale appliquée sur le piston n’a pas fondamentalement changé comme on s’y attendait. Elle aurait même tendance à légèrement faciliter le travail de la bielle durant la combustion vu que, le piston descendant, cette force a tendance à ralentir le piston dans cette descente et diminuera donc l’effort repris par la bielle mais cela reste marginal. Bien que notre calcul soit une approximation, on se rend compte que si la force n'a pas exactement cette allure là, elle n'en sera pas fort éloignée et ne pourrait être bien différente. Les forces de frottement apparaissent quand il y a mouvement du piston et même s'ils connaissaient des pics plus importants, ce serait à des moments où le piston ne subit pas ses efforts les plus importants (qui sont localisés aux alentours des PMH et PMB comme déjà vu) sauf pour la fin de la combustion... mais le frottement soulage ici plus qu'autre chose donc... :-)

Comme expliqué ici au-dessus, cette force de frottement a surtout un effet indirect d’échauffement.



Effort transmis à la bielle

On en revient à notre point sur le calcul d’effort repris par la bielle qu’on peut calculer en ayant pris le total des trois forces qui s’appliquent au piston (même si, pour ce calcul, on pourrait presque laisser tomber la force de frottement tant son influence à ce niveau-ci est faible comme on a pu le voir sur le graphique).

Pour calculer l’effort repris par la bielle, il va falloir d’abord trouver l’angle que fait la bielle avec l’axe du piston. Si on reprend le schéma ci-dessus, et qu’on se rappelle un peu de notre trigonométrie, on se souvient que, dans un triangle rectangle, le sinus de l’angle est égal au rapport entre le côté opposé et l’hypoténuse.

Image


Donc le sinus de l’angle de bielle = c/2.sin(A)/Lb. On connait tous les paramètres et on peut donc calculer cet angle en fonction de l'angle de vilebrequin et voilà ce que ça donne :

Image


L’angle de bielle varie donc de +19° à -19°. Ceci va nous permettre en analogie avec ce premier triangle, de traiter le triangle des forces. Dans ce cas-ci, le cosinus de l’angle est égal au côté adjacent (la force du piston) sur l’hypoténuse (la force de la bielle). La force résultante dans le pied de bielle (connexion piston-bielle pour rappel) due au piston est donc celle-ci (comparée à la force subie par le piston) :

Image


Logiquement, la force encaissée par le pied de bielle est supérieure à celle encaissée par le piston comme on a pu le voir sur le premier schéma de ce chapitre. La bielle fournit en effet une force sur le piston pour contrer les pressions/inerties/frottement mais aussi une force latérale. Bien entendu, lorsque la bielle est dans le même axe que le piston, on retrouve les mêmes valeurs et c’est donc lorsque le piston s’éloigne des PMH et PMB que la force fournie est supérieure.

A noter : j’ai bien précisé qu’il s’agit de l’effort en pied de bielle. En effet, l’effort en tête de bielle (connexion bielle-vilebrequin) doit tenir compte de l’inertie de la bielle. Cette inertie est très complexe vu que la bielle, contrairement au piston, ne se contente pas de translater mais tourne également sur elle-même, ce qui engendre des forces parasites qui vont légèrement perturber les forces en jeu. Cette force transmise au vilebrequin et le couple moteur engendré seront étudié dans le prochain chapitre.

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Message Publié : 01 Sep 2010, 12:12 
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Très intéressant. Merci de faire contribuer tes connaissances à ce fo'fo :prie: !!!!!


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Message Publié : 01 Sep 2010, 12:26 
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Inscription : 15 Jan 2010, 19:10
Message(s) : 120
Pays: france
Ville: clermont-ferrand
Voiture: 130i
Modèle: Hatch
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Vraiment super intéressant!!!
Chapeau!!!!!!!! :D

Merci passionnant!!!!!!!

en attente de la meme chose pour les moteurs du 3L 6 cylindre du 130i!!!
lol


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